Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，且向量$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$+（2λ-1）$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$反向，则实数λ的值为（　　）

• A． 1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 1或-$\frac{1}{2}$
• D． -1或-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意存在实数k使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=k[$\overrightarrow{a}$+（2λ-1）$\overrightarrow{b}$]，k＜0，由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，得2λ²-λ-1=0，由此能求出结果．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，且向量$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$+（2λ-1）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$反向，
∴存在实数k使$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{d}$（k＜0），
于是λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=k[$\overrightarrow{a}$+（2λ-1）$\overrightarrow{b}$]．
整理得λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=k$\overrightarrow{a}$+（2λk-k）$\overrightarrow{b}$．
由于向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，所以有$\left\{\begin{array}{l}{λ=k}\\{2λk-k=1}\end{array}\right.$，
整理得2λ²-λ-1=0，
解得λ=1或λ=-$\frac{1}{2}$．
又因为k＜0，所以λ＜0，
故λ=-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．