Question

2．定义在区间D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，都存在常数M≥0，有|f（x）|≤M，则称f（x）是区间D上有界函数，其中M称为f（x）上的一个上界，已知函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$为奇函数．
（1）求函数g（x）在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界构成的集合；
（2）若g（1-m）+g（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质，求出函数的解析式，利用单调性求函数g（x）在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界构成的集合；
（2）若g（1-m）+g（1-m²）＜0，有-1＜m²-1＜1-m＜1，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$为奇函数．
∴g（-x）=-g（x），
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{1+x}$=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{1-x}$…（1分）
∴$\frac{1+ax}{1+x}$=$\frac{1-x}{1-ax}$，1-x²=1-a²x²
得出；a=±1，而a=1时不符合题意，
故a=-1，…（3分）
函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{2}{1-x}$-1）是减函数，在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上是单调递减，…（4分）
g（$\frac{1}{3}$）=-1，g（$\frac{3}{5}$）=-2，|g（x）|≤2
所以g（x）在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{5}$]上的所有上界构成的集合[2，+∞）…（6分）
（Ⅱ）g（1-m）+g（1-m²）＜0，g（1-m）＜g（m²-1），…（7分）
g（x）为减函数，…（8分）
所以有-1＜m²-1＜1-m＜1，
解得0＜m＜1，
故不等式的解集{m|0＜m＜1}．…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．