Question

20．已知函数f（x）=|2x+1|-|x|-2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若存在实数x，使得f（x）-a≤|x|，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；
（2）不等式可化为|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$，求出左边的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）x≤-$\frac{1}{2}$时，-1-2x+x≥2，∴x≤-3；
-$\frac{1}{2}＜x＜0$时，2x+1+x≥2，∴x$≥\frac{1}{3}$，不符合；
x≥0时，x+1≥2，∴x≥1，
综上所述，不等式的解集为（-∞，-3]∪[1，+∞）；
（2）不等式可化为|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$，
∵||x+$\frac{1}{2}$|-|x||≤|x+$\frac{1}{2}$-x|=$\frac{1}{2}$
∴1+$\frac{a}{2}$≥-$\frac{1}{2}$，
∴a≥-3，
∴a的最小值为-3．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．