Question

13．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[-1.3]=-2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，则
[$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2016}+1}$]=2015．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n＞1，可得$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，于是$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}+1}$=1-$\frac{1}{{a}_{2017}}$∈（0，1）．又$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$=1-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$．可得$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2016}+1}$=2016-$（1-\frac{1}{{a}_{2017}}）$．即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n＞1，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}+1}$=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2017}}）$=1-$\frac{1}{{a}_{2017}}$∈（0，1）．
又$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$=1-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$．
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2016}+1}$=2016-$（1-\frac{1}{{a}_{2017}}）$．
∴[$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2016}+1}$]=2015．
故答案为：2015．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、取整函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．