Question

3．a为参数，函数f（x）=（x+a）•3${\;}^{x-2+{a^2}}}$-（x-a）•3^8-x-3a是偶函数，则a可取值是2或-5．

Answer 1

分析 由函数为偶函数可得函数满足f（-x）=f（x）对任意的x都成立，代入可求a．

解答 解：∵函数f（x）=（x+a）•3${\;}^{x-2+{a^2}}}$-（x-a）•3^8-x-3a是偶函数
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
∴f（-1）=f（1）成立
即（-1+a）•${3}^{-3+{a}^{2}}$-（-1-a）•3^9-3a=（1+a）•${3}^{{a}^{2}-1}$-（1-a）•3^7-3a
∴（8a+10）（${3}^{-3+{a}^{2}}$-3^7-3a）=0
由f（-2）=f（2）成立同理可得，（80a+164）（3^6-3a-${3}^{-4+{a}^{2}}$）=0
∴a²-1=9-3a
∴a²+3a-10=0
∴a=2或a=-5
故答案为2或-5．

点评 本题主要考查偶函数的性质，即f（-x）=f（x）对定义域中的任意x满足，属于中档题．