Question

13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x²+2x
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）写出f（x）单调区间（不必证明）

Answer 1

分析 （1）求出x＜0时的解析式，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（2）根据函数f（x）在R上的解析式，写出f（x）单调区间．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．（3分）
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
于是x＜0时f（x）=x²+2x（5分）
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$（6分）
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$
可知f（x）在[-1，1]上单调递增，在（-∞，-1）、（1，+∞）上单调递减          （12分）

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题．