Question

如图，在⊙O的直径AB的延长线上任取一点C，过点C引直线与⊙O交于点D、E，在⊙O上再取一点F，使

AE

=

AF

．
（Ⅰ）求证：E、D、G、O四点共圆；
（Ⅱ）如果CB=OB，试求

CB

CG

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明∠EDF=∠AOE，利用∠COE与∠AOE互补，可得∠COE与∠EDF互补，从而可得E、D、G、O四点共圆；
（Ⅱ）利用四点共圆，结合割线定理，即可求

CB

CG

的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠EDF的度数等于

EAF

的度数的一半，而

AE

=

AF

，
∴∠EDF的度数等于

AE

的度数．
∵∠AOF的度数等于

AE

的度数，
∴∠EDF=∠AOE，
∵∠COE与∠AOE互补，
∴∠COE与∠EDF互补，
∴E、D、G、O四点共圆；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知E、D、G、O四点共圆，
∴CE•CD=CO•CG，
∵CE•CD=CA•CB，
∴CA•CB=CO•CG，
∵CB=OB，
∴

CB

CG

=

CO

CA

=

2

3

．

点评：本题考查圆內接多边形的性质与判定，考查割线定理，确定四点共圆是关键．