Question

已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值集合；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1））由于函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0恒成立，于是可得△≤0恒成立，解得即可；
（2）由（1）可得：f′（x）=6（x-1）（x-a）．对a分类讨论：a≤1，1＜a＜3，a≥3三种情况利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6[x²-（a+1）x+a]≥0恒成立，
∴△=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0在R上恒成立，解得a=1．
因此实数a的取值集合为{1}；
（2）由（1）可得：f′（x）=6（x-1）（x-a）．
（i）当a≤1时，f′（x）≥0恒成立，且f′（x）不恒等于0，
∴f （x） 在区间[1，3]上是单调增函数，最小值为f （1）．
由于f （1）=4，即2-3（a+1）+6a=4．解得a=

5

3

＞1（舍去）．
（ii）当1＜a＜3时，在区间（1，a）上f′（x）＜0，∴f （x）在区间（1，a）上是减函数；
在区间（a，3）上f′（x）＞0，∴f （x）在区间（a，3）上是增函数，故f （a）为最小值．
f （a）=4，即a³-3a²+4=0，解得 a=-1，a=2．
a=-1不满足条件1＜a＜3，应舍去．
故a=2．
（iii）当a≥3时，在区间（1，a）上f′（x）＜0，∴f （x）在区间（1，a）上是减函数，f （3）为最小值．
f （3）=4，即54-27（a+1）+18a=4．解得a=

23

9

＜3（舍去）．
综上所述：a=2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．