Question

给出下列四个命题：
①已知a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则a＜b；
②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；
③已知x∈（0，π），则y=sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

；
④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则

a

x

+

c

y

的值等于2；
⑤已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（2-

2

，2+

2

）．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用不等式的性质即可得出；
②取a=-2即可判断出；
③换元利用函数的单调性即可得出；
④先求出函数f（x）的值域，由f（a）=g（b），可知两个函数的值域相同，即可得出．

解答： 解：对于①，由且

a+m

b+m

＞

a

b

，又a，b，m都是正数，∴b（a+m）-a（b+m）=m（b-a）＞0，∴b-a＞0，即a＜b．故①正确；
对于②，令a=-2，此时函数f（x）=lg（-2x+1）的定义域是{x|x＜

1

2

}，不是{x|x＜1}，故②错误；
对于③，设sinx=t∈[0，1]，则y=t+

2

t

，∵函数y=t+

2

t

在区间[0，1]上单调递减，
∴此函数的最小值是f（1）=3，即y=sinx+

2

sinx

的最小值为3，故③错误；
对于④，由题意，b²=ac，2x=a+b，2y=b+c，∴

a

x

+

c

y

=

2a

a+b

+

2c

b+c

=

4ac+2ab+2bc

ab+ac+b2+bc

=

4ac+2ab+2bc

2ac+ab+bc

=2，故④正确；
对于⑤，由题意，f（x）=e^x-1＞-1，
若有f（a）=g（b），则g（b）=-b²+4b-3＞-1，解得2-

2

＜b＜2+

2

．故⑤正确．
综上可知：只有①④⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查了函数的单调性值域、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．