如图展示了一个由区间(0.1)到实数集R的映射过程:区间(0.1)中的实数m对应数轴上的点M.如图①,将线段AB围成一个圆.使两端点A.B恰好重合.如图②,再将这个圆放在平面直角坐标系中.使其圆心在y轴上.点A的坐标为(0.1).在图形变化过程中.图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度.如图③．图③中直线AM与x轴交于点N(n.0).则m的象就是n.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．
给出下列命题：
①f（

）=1；
②f（x）在定义域（0，1）上单调递增；
③f（x）为偶函数； ④f（x）=-f（1-x）；
⑤关于m的不等式|f（m）|≤1的解集为[

，1]．
则所有正确的命题序号是

．

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：①m=

时，点M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程得出N的横坐标；
②由图3知点M的运动规律，得出函数值的变化情况和单调性；
③由函数的定义域不关于原点对称来判定命题的正误；
④由图3中圆关于Y轴的对称性以及f（x）=-f（1-x），判定f（x）图象的对称性；
⑤由f（m）的值是关于原点对称，且f（

）=-1，求出不等式|f（m）|≤1的解集．

解答： 解：①当m=

时，M恰好处在左半圆弧的中点（-

2π

，1-

2π

）上，
此时直线AM的方程为y=x+1，直线与x轴的交点的横坐标是-1，
∴f（

）=-1；
∴命题①错误；
②由图3知，当m由0增大到1时，点M由A运动到B，
此时N由x的负半轴向正半轴运动，
由此可知，N点的横坐标逐渐变大，
∴f（x）在定义域（0，1）上是增函数；
∴命题②正确；
③∵f（x）的定义域是（0，1），不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶的函数；
∴命题③错误；
④∵f（x）=-f（1-x），
∴f（x+

）=-f（1-x-

）
f（

+x）=-f（

-x）
∴f（x）的图象关于点（

，0）对称；
由图3知，当M点的位置离中间位置时，N点关于Y轴对称，此时函数值互为相反数，
即f（x）的图象关于点（

，0）对称；
∴命题④正确；
⑤由题意，f（m）的值是关于原点对称的，
且m=

时，f（m）=-1，
∴m=

时，f（m）=1，
∴不等式|f（m）|≤1的解集为[

，

]；
∴命题⑤错误；
所以，以上命题正确的是②④；
故答案为：②④．

点评：本题考查了映射的概念，解题的关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，并对题中命题判断正误，是考查理解能力的问题；解题时应对题设中所给的关系进行探究，从而得出正确答案．