Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成的角的正切值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得PO⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，由此能证明PO⊥面ABCD．
（Ⅱ） BC∥OD且BC=OD，由BC∥CD，得∠PBO为所求角或其补角，由此能求出异面直线PB与CD所成的角的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：PA=PD=

2

，O为AD的中点，则PO⊥AD，
依题意侧面PAD⊥底面ABCD，
且侧面 PAD∩底面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD．（6分）
（Ⅱ）解：BC∥OD且BC=OD，
则四边形BCDO为平行四边形，
故 BC∥CD，所以∠PBO为所求角或其补角，
又tan∠PBO=

2

2

，
故所求的角的正切值为

2

2

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．