Question

函数f（x）=x²（0＜x＜1）的图象如图所示，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与x轴和直线x=1分别交与点P、Q，点N（1，0），若△PQN的面积为S时点M恰好有两个，则S的取值范围为（　　）

• A、[

  1

  4

  ，

  10

  27

  ）
• B、（

  1

  2

  ，

  10

  27

  ]
• C、（

  1

  4

  ，

  8

  27

  ）
• D、[

  1

  2

  ，

  8

  27

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设M（t，t²），利用导数求出函数在M点处的切线方程，求出P，Q点的坐标，由三角形的面积公式求出△PQN的面积，由面积等于S整理，得到t³-4t²+4t=4S，令g（t）=t³-4t²+4t，由导数求出g（t）的最大值，再求出g（0），g（1）的值，从而得到△PQN的面积为S时点M恰好有两个时的4S的范围，则S的范围可求．

解答： 解：设点M（t，t²），
由f（x）=x²（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，
∴过点M的切线PQ的斜率k=2t．
∴切线PQ的方程为y=2tx-t²．
取y=0，得x=

t

2

，
取x=1，得y=2t-t²，
∴P（

t

2

，0）、Q（1，2t-t²），
∴S△PQN=

1

2

(1-

t

2

)(2t-t2)=S．
整理得：t³-4t²+4t-4S=0．
即t³-4t²+4t=4S．
令g（t）=t³-4t²+4t，
则g′（t）=3t²-8t+4，
由g′（t）=0，解得t1=

2

3

，t₂=2（舍）．
∴当t∈(0，

2

3

)时，g′（t）＞0，g（t）为增函数．
当t∈(

2

3

，1)时，g′（t）＜0，g（t）为减函数．
∴当t=

2

3

时，g（t）有极大值，也就是（0，1）上的最大值为

32

27

．
又g（0）=0，g（1）=1．
∴要使△PQN的面积为S时点M恰好有两个，
则1＜4S＜

32

27

，即

1

4

＜S＜

8

27

．
∴S的取值范围为(

1

4

，

8

27

)．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法，是中档题．