Question

如图所示的六面体，面ABC∥面A₁B₁C₁，AA₁⊥面ABC，AA₁=A₁C₁=2AB=2A₁B₁=2AC=2，AD⊥DC₁，D为BB₁的中点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求二面角B-CC₁-A的余弦值；
（3）设点E是平面A₁B₁C₁内的动点，求ED+EC的最小值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结DA₁，由已知条件推导出A₁C₁⊥面ABB₁A₁，从而得到A₁C₁⊥A₁B₁，由此能证明AB⊥AC．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-CC₁-A的余弦值．
（3）设点D关于面A₁B₁C₁的对称点为D′，由D（1，0，1），知D′（1，0，-1），再由ED+EC≥CD′，能求出ED+EC的最小值．

解答： （1）证明：连结DA₁，由题意得平面ABB₁A₁为矩形，
∵AA₁=A₁C₁=2AB=2A₁B₁=2AC=2，D为BB₁的中点，
∴AD=DA₁=

2

，∴AD⊥DA₁，
∵AD⊥DC₁，A₁D∩DC₁=D，
∴AD⊥面DC₁A₁，∴AD⊥A₁C₁，
∵面ABC∥面A₁B₁C₁，AA₁⊥面ABC，
∴A₁C₁⊥AA₁，
∴A₁C₁⊥面ABB₁A₁，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
∴AB⊥AC．
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
由题意知：B（1，0，2），C（0，1，2），
C₁（0，2，0），
∴

BC

=(-1，1，0)，

CC1

=(0，1，-2)，
设面BCC₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BC =-x+y=0 n • CC1 =y-2z=0

，取x=2，得

n

=(2，2，1)，
由题意知面AA₁C₁C的法向量为

m

=(1，0，0)，
∵cos＜

m

，

n

＞=

2

9

=

2

3

，
∴二面角B-CC₁-A的余弦值为

2

3

．
（3）解：设点D关于面A₁B₁C₁的对称点为D′，
∵D（1，0，1），∴D′（1，0，-1），∴

CD′

=（-1，1，3）
∵ED+EC≥CD′，|

CD′

|=

11

，
∴ED+EC的最小值为

11

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两条线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．