Question

过点P（1，-2）作直线与曲线

x=2 2 cosθ y=2sinθ

（θ为参数）相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=

2

3

，求该直线的方程．

Answer 1

考点：圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：先求得曲线的直角坐标方程，设直线的倾斜角为α，可得直线的参数方程，再把此参数方程代入①，利用判别式大于零求得 cosα＜0，或tanα＞2．由题意可得，t₁•t₂=|PA|•|PB|=

1

cos2α+2sin2α

=

2

3

，由此求得cosα 的值，可得α的值，从而求得斜率，再用点斜式求直线的方程．

解答： 解：曲线

x=2 2 cosθ y=2sinθ

（θ为参数）即

x2

8

+

y2

4

=1①．
设直线的倾斜角为α，则直线的参数方程为

x=1+tcosα y=-2+tsinα

，代入①可得
（cos²α+2sin²α）t²+（2cosα-8sinα）t+1=0．
由判别式△=（2cosα-8sinα）²-4（cos²α+2sin²α）＞0，求得sinα＞2cosα，
∴cosα＜0，或tanα＞2．
由题意可得，t₁•t₂=

PA

•

PB

=|PA|•|PB|=

1

cos2α+2sin2α

=

2

3

，
即

1

2 -cos2α

=

2

3

，∴cosα=

2

2

（舍去），或cosα=-

2

2

，∴α=

3π

4

，
∴直线的斜率为-1，故直线的方程为 y+2=-1×（x-1），即 x+y=0．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线的参数方程，参数的几何意义，属于基础题．