Question

观察下列命题
①命题“对任意的x＜0，x³-x²+1≤0”的否定是“存在x≥0，x³-x²+1＞0”；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；③若函数f（x）=x²-|x+a|为偶函数，则实数a=0；
④若函数f（x）=

ax-5，(x＞6) (4- a 2 )x+4，(x≤6)

在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．       
其中真命题的序号是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①利用命题的否定的意义即可得出；
②利用指数函数和二次函数的性质，画出图象即可得出；
③利用偶函数的定义即可得出；
④利用指数函数、一次函数的单调性、分段函数的意义即可得出．

解答： 解：①命题“对任意的x＜0，x³-x²+1≤0”的否定应是“存在x＜0，x³-x²+1＞0”，因此不正确；
②函数f（x）=2^x-x²的图象如图所示，因此函数f（x）的零点应有3个，因此不正确．
③若函数f（x）=x²-|x+a|为偶函数，则f（-x）=f（x），
∴|-x+a|=|x+a|对于任意实数x都成立，
解得a=0，因此③正确；
④若函数f（x）=

ax-5，(x＞6) (4- a 2 )x+4，(x≤6)

在R上是单调递增函数，
∴

a＞1 4- a 2 ＞0 (4- a 2 )×6+4≤a6-5

，解得7≤a＜8．
则实数a的取值范围为[7，8）．
因此④不正确．
综上可知：只有③正确．
故答案为：③．

点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．