题目内容
学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为
，且每题正确完成与否互不影响．
（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
| 2 |
| 3 |
（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
考点：概率的应用,离散型随机变量的期望与方差
专题：综合题,概率与统计
分析：（1）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．
（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．
解答：
解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1，2，3，
∴P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
=
，P(ξ=3)=
=
…（3分）
∴考生甲正确完成题目数的分布列为
∴Eξ=1×
+2×
+3×
=2…（5分）
（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η．
∵η～B（3，
），其分布列为：P(η=k)=
(
)k(
)3-k，k=0，1，2，3
∴Eη=3×
=2…（6分）
∵Dξ=(1-2)2×
+(2-2)2×
+(3-2)2×
=
Dη=3×
×
=
…（8分）
∴Dξ＜Dη
∵P(ξ≥2)=
+
=0.8，P(η≥2)=
+
≈0.74…（10分）
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强．…（12分）
∴P(ξ=1)=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
∴考生甲正确完成题目数的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η．
∵η～B（3，
| 2 |
| 3 |
| C | k 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴Eη=3×
| 2 |
| 3 |
∵Dξ=(1-2)2×
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴Dξ＜Dη
∵P(ξ≥2)=
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 12 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强．…（12分）
点评：本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查概率知识 的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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≥
”的（ ）
| a+b |
| 2 |
| ab |
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