Question

已知两圆M：x²+y²=10和N：x²+y²+2x+2y-14=0．
（1）求两圆的公共弦所在的直线方程；
（2）求过两圆交点且圆心在x+2y-3=0上的圆的方程．

Answer 1

考点：相交弦所在直线的方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）通过两个圆的方程作差，即可得到两圆的公共弦所在的直线方程；
（2）利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在x+2y-3=0上，代入求解，即可得到圆的方程．

解答： 解：（1）两圆M：x²+y²=10和N：x²+y²+2x+2y-14=0．两个方程作差可得：2x+2y-4=0，即x+y-2=0．
所以两圆的公共弦所在的直线方程x+y-2=0；
（2）设所求的圆的方程为：x²+y²+2x+2y-14+λ（x²+y²-10）=0，
即（1+λ）x²+（1+λ）y²+2x+2y-14-10λ=0，即x²+y²+

2

1+λ

x+

2

1+λ

y-

14+10λ

1+λ

=0，
圆的圆心（-

1

1+λ

，-

1

1+λ

），
圆心在x+2y-3=0上，
可得-

1

1+λ

-

3

1+λ

-3=0，解得：λ=-2．
所求圆的方程为：x²+y²+2x+2y-14-2（x²+y²-10）=0，
即x²+y²-2x-2y-6=0．

点评：本题求经过两圆交点，并且圆心在定直线的圆的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．