题目内容
已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，准线与x轴交于点A，过A且斜率为k的直线l与抛物线C交于P、Q两点，求满足
=
+
的点R的轨迹方程．
| FR |
| FP |
| FQ |
考点：轨迹方程
专题：向量与圆锥曲线
分析：由抛物线方程求出准线方程及焦点坐标，进一步求出A的坐标和直线l的方程，联立直线方程与圆锥抛物线方程，利用根与系数的关系得到P，Q两点横纵坐标的和，结合
=
+
由向量的坐标加法运算得到R的坐标与P，Q坐标的关系，得到R的参数方程，消去参数k后得答案．
| FR |
| FP |
| FQ |
解答：
解：由y2=4x，得其准线方程为x=-1，即A（-1，0），焦点F（1，0），
则直线l的方程为y-0=k（x+1），
联立
，消去y得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x，y），
则x1+x2=
，x1x2=1，x1+x2-1=
-1=
，
y1+y2=k(x1+x2)+2k=
+2k=
．
=(x-1，y)，
=(x1-1，y1)，
=(x2-1，y2)，
由
=
+
，得
，即
．
∴
，消去k得：y2=4x+12．
∴满足
=
+
的点R的轨迹方程为y2=4x+12．
则直线l的方程为y-0=k（x+1），
联立
|
设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x，y），
则x1+x2=
| 4-2k2 |
| k2 |
| 4-2k2 |
| k2 |
| 4-3k2 |
| k2 |
y1+y2=k(x1+x2)+2k=
| 4-2k2 |
| k |
| 4 |
| k |
| FR |
| FP |
| FQ |
由
| FR |
| FP |
| FQ |
|
|
∴
|
∴满足
| FR |
| FP |
| FQ |
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的坐标运算，训练了向量在解圆锥曲线题中的应用，是中档题．
练习册系列答案
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设全集为I，则表示右图中阴影部分的集合是（ ）
| A、A∪B |
| B、A∩B |
| C、（∁IA）∪（∁IB） |
| D、（∁IA）∩（∁IB） |
如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，∠BDA=∠EDA．
求曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=已知数列{an}是等差数列，a3=-2，前6项的和S6=-3，那么数列{n+an}的前4项的和是（ ）
| A、-4 | B、-1 | C、5 | D、6 |