Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一个纵坐标为2的点到焦点的距离为3． 
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ） 设点P（0，2），过P作直线l₁，l₂分别交抛物线于点A，B和点M，N，直线l₁，l₂的斜率分别为k₁和k₂，且k₁k₂=-

3

4

．写出线段AB的长|AB|关于k₁的函数表达式，并求四边形AMBN面积S的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得2-(-

p

2

)=3，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），l₁：y=k₁x+2，与抛物线x²=4y联立可得x²-4k₁x-8=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出四边形AMBN面积S的最小值．

解答： （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）上一个纵坐标为2的点到焦点的距离为3．
∴2-(-

p

2

)=3，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
l₁：y=k₁x+2，与抛物线x²=4y联立可得x²-4k₁x-8=0，
∴

x1+x2=4k1 x1x2=-8

，
|AB|=

1+ k 2 1

|x1-x2|=4

(1+ k 2 1 )( k 2 1 +2)

，k₁∈R且k₁≠0．…（10分）
设点M，N到直线l₁的距离分别为h₁和h₂，h1+h2=

|k1x3-y3+2|

1+ k 2 1

+

|k1x4-y4+2|

1+ k 2 1

=

|(k1x3-y3)-(k1x4-y4)|

1+ k 2 1

=

|(k1x3-k1x4)-(y3-y4)|

1+ k 2 1

．
y₃=k₂x₃+2，y₄=k₂x₄+2，y₃-y₄=k₂（x₃-x₄）．
h1+h2=

|(k1x3-k1x4)-(y3-y4)|

1+ k 2 1

=

|x3-x4||k1-k2|

1+ k 2 1

．
同理可得x²-4k₂x-8=0，
|x3-x4|=

(x3+x4)2-4x3x4

=4

k 2 2 +2

h1+h2=

4|k1-k2| k 2 2 +2

1+ k 2 1

． …（12分）
SAMBN=

1

2

|AB|(h1+h2)
=8

( k 2 1 +2)( k 2 2 +2)

•|k1-k2|
=8

[2( k 2 1 + k 2 2 )+ k 2 1 k 2 2 +4]( k 2 1 + k 2 2 -2k1k2)

，
∵k1k2=-

3

4

，
∴SAMBN=8

[2( k 2 1 + k 2 2 )+ 9 16 +4]( k 2 1 + k 2 2 + 3 2 )

，
设t=

k

2 1

+

k

2 2

≥2|k1k2|=

3

2

，
SAMBN=8

(2t+ 9 16 +4)(t+ 3 2 )

在[

3

2

，+∞)上单调递增，
SAMBN≥8

(3+ 9 16 +4)( 3 2 + 3 2 )

=22

3

，
当且仅当t=

3

2

，即{k1，k2}={-

3

2

，

3

2

}时取等号．
∴四边形AMBN面积的最小值为22

3

．…（15分）

点评：本题考查抛物线C的方程的求法，考查四边形AMBN面积S的最小值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．