Question

【题目】如图，在三棱锥D-ABC中为锐角三角形，平面ACD⊥平面.

（1）求证：CD⊥平面ABC

（2）若直线BD与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角D-AB-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）过作，交于点，利用面面垂直的性质定理可得平面ACD，从而证出，再由，利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）过作，交于点，则为二面角D-AB-C 的平面角，在中，由余弦定理求出，利用三角形面积相等求出，即可求解.

（1）过作，交于点，

平面ACD⊥平面，且平面ACD平面，

则平面ACD，平面ACD，，

又，，

，平面ABC.

（2）过作，交于点，

则为二面角D-AB-C 的平面角，

由（1）可知，为直线BD与平面ACD所成角，即，

设，由，

则，，

所以，

由，解得，

所以，

由为锐角三角形，

所以，

在中，由余弦定理，

，

所以，

由，解得，

所以，

所以 .