题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求函数
的最大值;
(2)令其图象上任意一点
处切线的斜率
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当,
,方程
有唯一实数解,求正数
的值
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)对函数进行求导,判断其在
单调递增,在
单调递减,从而得到最大值为
;
(2)求出函数,
,则其导数小于等于
在
恒成立,进而求出
的取值范围;
(3)方程有唯一实数解,设
,利用导数研究函数
的图象特征,设
为方程的唯一解,得到
,把方程组转化成
,再利用导数研究该方程的根,最后根据根的唯一性,得到
与
的关系,再求出正数
的值.
(1)依题意,知的定义域为
,
当时,
,
令,解得
.
当时,
,此时
单调递增;
当时,
,此时
单调递减.
所以的极大值为
,此即为最大值.
(2),
,则有
,在
上恒成立,所以
,
.
当时,
取得最大值
,所以
.
(3)因为方程有唯一实数解,所以
有唯一实数解,
设,则
.
令,
,
因为,
,所以
(舍去),
,
当时,
,
在
上单调递减,
当时,
,
在
上单调递增,
当时,
,
取最小值
.
则,即
,
所以,
因为,所以
设函数,
因为当时,
是增函数,所以
至多有一解,
又,所以方程
的解为
,即
,解得
.
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