Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线与的公切线方程：

（2）若有两个极值点，，且，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用求导，分别求出两条曲线的切线方程.由题知两条切线重合，则可列出方程组，解得两个切点的横坐标，从而求出切线方程；

（2）求的导函数，其零点即为极值点，，则.根据，可设，解得，由此构造函数，利用导函数求出的值域，也即是的范围.由构造函数，求出其值域，也即是实数的取值范围.

解：（1）时，，

设曲线上的切点为，则切线方程为，

设曲线上的切点为，则切线方程为

由两条切线重合得 ，则 ，

所以，公切线方程为；

（2），

，设其零点为，，

，，

令，可得，则

令，，

又令，，则单调递减，

，，单调递减，

，易知， ，

令，，

则在上递增，