题目内容
【题目】如图所示,直角梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
或
.
【解析】
(1)证明:四边形
为矩形,
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
.
取为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,
如图,则,0,
,
,2,
,
,2,
,
,0,
,
,2,
,
设平面的法向量
,
,
,
,
,
,
,2,
,
由,取
,得
,0,
,
又,2,
,
,
,
又平面
,
平面
;
(2),0,
,
,0,
,
,2,
,
,
,
,
,0,
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,得
,
,
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,得
,1,
,
设二面角的平面角为
,
则,
二面角
的正弦值
.
(3)假设在线段上存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,
设,
,
,
,则
,
,
,
,
,
解得,
,
,
,
,
,
平面的法向量
,
,
,
,
,
,
直线
与平面
所成角的正弦值为
,
,
解得或
,
,
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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