题目内容
【题目】如图所示，直角梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形，
，平面
平面.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出线段
的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）存在，或
.
【解析】
（1）证明：
四边形
为矩形，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面.
取
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
如图，则
，0，
，
，2，，
，2，，
，0，
，
，2，，
设平面
的法向量
，
，
，
，
，，
，2，，
由
，取
，得
，0，
，
又
，2，，
，
，
又
平面，
平面；
（2）
，0，，
，0，，，2，，，，，
，0，，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，取
，得
，
，，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，取
，得
，1，，
设二面角
的平面角为
，
则
，
二面角的正弦值
.
（3）假设在线段
上存在点
，使得直线
与平面所成角的正弦值为
，
设
，
，
，
，则
，
，
，，，
解得
，
，
，
，
，
，
平面的法向量，，，
，，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
解得
或
，
，
或
.
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