Question

5．已知函数$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x-a$．
（1）对任意实数x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若函数f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，配方可得最小值，由题意可得m≤f′（x）的最小值，即可得到m的最大值；
（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x-a$的导数为f′（x）=3x²-9x+6
=3（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{4}$≥-$\frac{3}{4}$，
对任意实数x，f'（x）≥m恒成立，
可得m≤f′（x）的最小值，
即有m≤-$\frac{3}{4}$，可得m的最大值为-$\frac{3}{4}$；
（2）函数$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x-a$的导数为f′（x）=3x²-9x+6
=3（x-1）（x-2），
f'（x）＞0⇒x＞2或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上单增，在（1，2）上单减，
∴$f{（x）_{极大}}=f（1）=\frac{5}{2}-a，f{（x）_{极小}}=f（2）=2-a$，
函数f（x）恰有一个零点，可得$\frac{5}{2}$-a＜0或2-a＞0，
解得a＜2或a＞$\frac{5}{2}$．
可得a的取值范围是（-∞，2）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区和极值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．