题目内容
求关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a（a＞0且a≠1）的实数解的个数．
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：函数的性质及应用
分析：要判断方程ax+1=-x2+2x+2a解的个数，我们可根据方程解的个数与对应函数零点个数的关系，转化为求函数零点的个数，然后利用图象法进行解答．
解答：
解：当a＞1时，在同一坐标中画出函数y=ax+1与y=-x2+2x+2a的图象如下图所示
此时两个函数的图象有两个交点，故方程ax+1=-x2+2x+2a有两个解．
当0＜a＜1时，在同一坐标中画出函数y=ax+1与y=-x2+2x+2a的图象如下图所示
此时两个函数的图象有两个交点，故方程ax+1=-x2+2x+2a有两个解．
综上方程ax+1=-x2+2x+2a有两个解．
此时两个函数的图象有两个交点，故方程ax+1=-x2+2x+2a有两个解．
当0＜a＜1时，在同一坐标中画出函数y=ax+1与y=-x2+2x+2a的图象如下图所示
此时两个函数的图象有两个交点，故方程ax+1=-x2+2x+2a有两个解．
综上方程ax+1=-x2+2x+2a有两个解．
点评：本题考查的知识是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程解的个数与对应函数零点个数的关系，转化为求函数零点的个数，是解答本题的关键．
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