Question

如图，在三棱锥V-ABC中，点E、F分别为VB、VC的中点．平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）若二面角C-VB-A为90°，且VA=BC=

1

2

AC，求二面角A-VC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得EF∥BC，由此能证明EF∥平面ABC．
（2）在△ABC内任取一点O，作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于N，由已知得VA⊥BC，作AH⊥VB于H，作AG⊥VC于G，连结GH，得GH⊥VC，∠AGH为二面角A-VC-B的平面角，由此能求出二面角A-VC-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵点E，F分别为VB、VC的中点，
∴EF∥BC，
∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）解：在△ABC内任取一点O，作OM⊥AB于M，
∵面VAB⊥面ABC，交线为AB，
∴OM⊥面VAB，∴VA⊥OM，
同理，作ON⊥AC于N，则VA⊥ON，
又OM∩ON=O，OM，ON?平面ABC，
∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，
作AH⊥VB于H，
∵二面角C-VB-A为90°，
∴平面VBC⊥平面VAB，交线为VB，
∴AH⊥平面VBC，∴BC⊥AH，
∵AH∩VA=A，AH，VA?平面VAB，
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥AB，BC⊥VB，
作AG⊥VC于G，连结GH，
由三垂线定理的逆定理，得GH⊥VC，
∴∠AGH为二面角A-VC-B的平面角，
设AC=2，由VA=BC=1，
在Rt△VAC中，AC=2，VA=1，VC=

5

，
∴AG=

VA•AC

VC

=

2

5

，
在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，AB=

AC2-BC2

=

3

，
在Rt△VAB中，VA=1，AB=

3

，VB=2，
AH=

VA•AB

VB

=

3

2

，
在Rt△VGH中，GH=

AG2-AH2

=

1

2 5

，
∴cos∠AGH=

GH

AG

=

1

4

，
∴二面角A-VC-B的余弦值为

1

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．