Question

已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，各棱长均为3，P、Q分别是侧棱BB₁、CC₁上的点，且BP=C₁Q=1．
（1）在AC上是否存在一点D，使得BD∥平面APQ？证明你的结论；
（2）利用（1）的结论证明：平面APQ⊥平面AA₁CC₁；
（3）求三棱柱Q-APA₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）当D为AC中点时，BD∥平面APQ．由已知得BP=C₁Q=1，取AQ中点E，连结PE、ED，则四边形BDEP是平行四边形由此能证明BD∥平面APQ．
（2）由已知得平面ABC⊥平面AA₁C₁C，BD⊥平面AA₁C₁C，PE⊥平面AA₁C₁C，由此能证明面APQ⊥面AA₁C₁C．
（3）由VQ-APA1=VP-QAA1，利用等积法能求出三棱柱Q-APA₁的体积．

解答： （1）解：当D为AC中点时，BD∥平面APQ．
证明如下：
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，各棱长均为3，
∴BP=C₁Q=1，P，Q分别是BB₁，CC₁上的三等分点，
取AQ中点E，连结PE、ED，则DE为△AQC的中位线，
∴ED∥CQ，ED=

1

2

CQ，
又∵BP∥QC，BP=

1

2

QC，∴BP∥DE，BP=DE，
∴四边形BDEP是平行四边形，∴PE∥BD，
∵PE?平面APQ，BD?平面APQ，
∴BD∥平面APQ．
（2）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
∵BD⊥AC，BD?平面ABC，平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∴四边形BDEP是平行四边形，∴PE∥BD，
∴PE⊥平面AA₁C₁C，
∵PE?平面APQ，∴平面APQ⊥平面AA₁C₁C．
（3）解：VQ-APA1=VP-QAA1=

1

3

×PE×S△OAA1
=C
=

1

3

×

3 3

3

×

1

2

×3×3
=

9 3

4

．

点评：本题考查使得BD∥平面APQ的点D的位置的判断与证明，考查平面APQ⊥平面AA₁CC₁的证明，考查三棱柱Q-APA₁的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．