Question

设集合M={x|x²+2（1-a）x+3-a≤0，x∈R}，M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：当M⊆[0，3]，通过f（0）≥0，且f（3）≥0，以及对应的二次函数的对称轴的范围，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：设y=x²+2（1-a）x+3-a，其开口向上，
那么满足y=x²+2（1-a）x+3-a≤0，的x的取值，
即为使 二次函数在x轴下方 的x的取值范围，
也就是 二次函数与y轴交点 之间的部分，
当M包含于[0，3]时，
二次函数与y轴两交点之间的部分，或M为空集，应包含于区间[0，3]之间，
即 两交点都在[0，3]之间，
可知 f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a-1≤3
f（0）=3-a≥0，a≤3
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≥0，a≤

18

7

，
0≤a-1≤3⇒1≤a≤4
综上1≤a≤

18

7

．

点评：本题是中档题，考查集合的运算，构造法与函数的零点与方程的根的知识，考查计算能力，转化思想．