Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，故有b=-2a，再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x只有一个解，由判别式等于零求得a、b的值，可得函数的解析式．
（2）由于函数g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x 的对称轴为x=

1

1-2k

，且函数g（x）在（0，4）上是增函数，可得

1

1-2k

≤0，由此求得k的范围．
（3）由（1）中函数的解析式，求出函数的最大值，进而根据f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，可得m＜n≤

1

6

，利用二次函数的图象和性质分析函数的单调性，可构造关于m，n的方程组，解方程组可得答案．

解答： 解：（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
f（x）=ax² -2ax．
再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x只有一个解，
故△=（2a+1）²-0=0，
∴a=-

1

2

，b=1
∴f（x）=-

1

2

x²+x
（2）∵函数g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x
当k-

1

2

=0，即k=

1

2

时，
g（x）=x在（0，4）上是增函数，满足要求；
当k-

1

2

＞0，即k＞

1

2

时，
若g（x）=x在（0，4）上是增函数，
则

1

1-2k

≤0，解得k＞

1

2

，
当k-

1

2

＜0，即k＜

1

2

时，
若g（x）=x在（0，4）上是增函数，
则

1

1-2k

≥4，解得

3

8

≤k＜

1

2

，
综上所述，实数k的取值范围为[

3

8

，+∞）
（3）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

∵f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]
∴3n≤

1

2

∴n≤

1

6

故m＜n≤

1

6

∴f（x）在区间[m，n]上为增函数
∴

f(m)=2m f(n)=3n

即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

即m，n为方程-

1

2

x²+x=3x的两根，
解-

1

2

x²+x=3x得x=-4，或x=0
故m=-4，n=0

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，新定义，函数图象的平移变换，是二次函数图象和性质的综合应用，属于中档题．