Question

已知sinα=

4 3

7

，sin（α-β）=

3 3

14

，且0＜β＜α＜

π

2

．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求角β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由同角的平方关系求得cosα，进而求得tanα，再由二倍角的正切公式，即可得到结果；
（Ⅱ）先求cos（α-β），再由cosβ=cos[α-（α-β）]，运用两角差的余弦公式，注意到β的范围，计算得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinα=

4 3

7

，0＜α＜

π

2

，
∴cosα=

1- 48 49

=

1

7

，
即有tanα=

sinα

cosα

=4

3

，
则tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×4 3

1-(4 3 )2

=-

8 3

47

；
（Ⅱ）由0＜β＜α＜

π

2

，得0＜α-β＜

π

2

，
又sin（α-β）=

3 3

14

，则cos（α-β）=

1-( 3 3 14 )2

=

13

14

，
则cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，
由于0＜β＜

π

2

，
故有β=

π

3

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查同角公式、二倍角公式和两角和差公式及运用，考查运算能力，注意角的变换，属于中档题．