Question

2．定义：函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f（x）的极差，若定义在区间[-2b，3b-1]上的函数f（x）=x³-ax²-（b+2）x是奇函数，则a+b=1，函数f（x）的极差为4．

Answer 1

分析 由定义在区间[-2b，3b-1]上的函数f（x）=x³-ax²-（b+2）x是奇函数，列出方程组，能求出a=0，b=1，从而a+b=1，f（x）=x³-3x，由此利用导数的性质能求出函数f（x）的极差．

解答 解：∵定义在区间[-2b，3b-1]上的函数f（x）=x³-ax²-（b+2）x是奇函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2b+3b-1=0}\\{-a=0}\end{array}\right.$，解得a=0，b=1，∴a+b=1，
∴f（x）=x³-3x，区间[-2b，3b-1]即为[-2，2]．
f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0，得x=±1，
∵f（-2）=（-2）³-3×（-2）=-2，
f（-1）=（-1）³-3×（-1）=2，
f（1）=1³-3×1=-2，
f（2）=2³-3×2=2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴函数f（x）的极差为：2-（-2）=4．
故答案为：1，4．

点评 本题考查函数性质、函数极差、导数、函数最大值及最小值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．