Question

4．为弘扬中国传统文化，2017年中央电视台著名主持人董卿主持了一档节目《中国诗词大会》参赛的100名选手年龄分布情况如下：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这组数据的中位数和平均值$\overline{x}$（保留1位小数）
（Ⅱ）节目最后由高中生武亦姝和编辑彭敏争夺冠军，比赛规定：主持人每出一题，两位选手必有一人得1分，另一人不得分，先得5分者将成为第二季的总冠军，现比赛进行到武亦姝和彭敏的得分比为3：2，接下来假设主持人每出一道题，彭敏得分的概率为$\frac{3}{5}$，武亦姝得分的概率为$\frac{2}{5}$，请问最终武亦姝获得冠军的概率是多少？
（Ⅲ）现从年龄在[10，20）、[50，60），[60，70]内的三组选手中任意抽取2人，求抽出选手中年龄大于50岁的人数ξ的概率分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）设x满足：（0.002+0.03+x）×10=$\frac{1}{2}$，解得x=0.018．可得中位数=30+$\frac{0.018}{0.035}$×10．
其平均数$\overline{a}$=15×0.02+25×0.3+35×0.35+45×0.3+55×0.02+65×0.01．
（II）由于现比赛进行到武亦姝和彭敏的得分比为3：2，可假设：武亦姝和彭敏的得分分别为3，2．则最终武亦姝获得冠军接下来有以下6种情况：

1	1
1	0	1
1	0	0	1
0	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1

利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．
（III））由题意可得：年龄在[10，20）、[50，60），[60，70]内的人数分别为：0.002×10×100=2，0.002×10×100=2，0.001×10×100=1．从上述三组选手5人中任意抽取2人，ξ的可能取值为0，1，2．利用超几何分布列的计算公式与数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（I）设x满足：（0.002+0.03+x）×10=$\frac{1}{2}$，解得x=0.018．
∴中位数=30+$\frac{0.018}{0.035}$×10≈35.14（岁）．
其平均数$\overline{a}$=15×0.02+25×0.3+35×0.35+45×0.3+55×0.02+65×0.01=35.3．
（II）由于现比赛进行到武亦姝和彭敏的得分比为3：2，可假设：武亦姝和彭敏的得分分别为3，2．
则最终武亦姝获得冠军接下来有以下6种情况：

1	1
1	0	1
1	0	0	1
0	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1

∴最终武亦姝获得冠军的概率P=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{349}{625}$．
（III）由题意可得：年龄在[10，20）、[50，60），[60，70]内的人数分别为：0.002×10×100=2，0.002×10×100=2，0.001×10×100=1．从上述三组选手5人中任意抽取2人，ξ的可能取值为0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$．
可得ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

则Eξ=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{6}{10}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、中位数与平均数的计算公式、互斥事件与相互独立事件、超几何分布列的计算公式与数学期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．