Question

1．已知在数列{a_n}中，a₁=4，a_n＞0，前n项和为S_n，若${a_n}=\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}（n≥2）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）化简可知数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是一个首项为$\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}=2$、公差为1的等差数列，再次利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可得当n≥2时的通项公式，进而验证当n=1时是否成立即可；
（2）通过（1）利用裂项相消法计算即得结论．

解答 解：（1）因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
所以${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$，
从而（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），
因为a_n＞0，所以$\sqrt{S_n}＞0$，从而$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1（n≥2）$，
所以数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是一个首项为$\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}=2$、公差为1的等差数列，
则$\sqrt{{S}_{n}}$=2+n-1=n+1，即S_n=（n+1）²，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（n+1）^2}-{n^2}=2n+1$，
当n=1时，a₁=4，所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}4，n=1\\ 2n+1，n≥2\end{array}\right.$．
（2）由（1）可知当n≥2时，
${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n+1）×（2n+3）}$
=$\frac{1}{4×5}+\frac{1}{2}[（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{20}+\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{3}{20}-\frac{1}{4n+6}$，
又因为当n=1时T₁=$\frac{1}{20}$满足上式，
所以T_n=$\frac{3}{20}$-$\frac{1}{4n+6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．