Question

20．已知函数f（x）=x³-x-1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线方程；
（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-$\frac{1}{2}$x+3垂直，求切点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（2）设出切点（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得切线的斜率为2，解m的方程可得m，代入函数f（x），计算即可得到所求切点的坐标．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-x-1的导数为f′（x）=3x²-1，
可得曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线斜率为3-1=2，
即有曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线方程为y-（-1）=2（x-1），
即为2x-y-3=0；
（2）设切点坐标为（m，n），
切线与直线y=-$\frac{1}{2}$x+3垂直，可得切线的斜率为2，
又f（x）的导数为f′（x）=3x²-1，
可得3m²-1=2，
解得m=1或-1，
则n=m³-m-1=-1．
可得切点坐标为（1，-1）或（-1，-1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，正确求导是解题的关键，属于基础题．