Question

1．如图，围建一个面积为100m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需维修），其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用y（单位：元）
（1）将y表示为x的函数；
（2）求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意得矩形场地的另一边长为$\frac{100}{x}$米，根据旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，求得长度．得出y关于x的函数表达式；
（2）利用基本不等式求出y的最小值，运用等号成立的条件，求出x的值．

解答 解：（1）由题意得矩形场地的另一边长为$\frac{100}{x}$米，
∴y=56x+（x+2•$\frac{100}{x}$-2）×200=256x+$\frac{40000}{x}$-400（x＞0）．
（2）由（1）得y=256x+$\frac{40000}{x}$-400
≥2$\sqrt{256x•\frac{40000}{x}}$-400=6000，
当且仅当256x=$\frac{40000}{x}$时，等号成立，
即当x=$\frac{25}{2}$米时，y取得最小值6000元．

点评 本题是函数模型在实际问题中的应用，考查函数的解析式和最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．