Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（4-x）且f（2-x）+f（x-2）=0，若f（2）=1，则f（2014）的值是（　　）

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、无法确定

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先由条件f（2-x）+f（x-2）=0推出f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），故函数f（x）为奇函数，
再由条件f（x）=f（4-x）推出函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，将条件进行转化即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）满足f（2-x）+f（x-2）=0，∴f（2-x）=-f（x-2），
∴f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，
又f（x）满足f（x）=f（4-x），∴f（x）=f（x-4），∴f（x+8）=f（x+8-4）=f（x+4）=f（x+4-4）=f（x），
∴函数为周期函数，周期T=8，
∴f（2014）=f（251×8+6）=f（6），又f（6）=f（6-8）=f（-2）=-f（2）=-1，
故选：A．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．