Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在区间[0，1]上是减函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是增函数，又f′(

1

2

)=-

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）≤m在区间x∈[0，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数的单调性建立条件关系即可，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数f（x）在x∈[0，2]的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c，由已知f′（0）=f′（1）=0，
即

c=0 3a+2b+c=0

，
解得

c=0 b=- 3 2 a

∴f′（x）=3ax²-3ax，
∴f′(

1

2

)=-

3

2

=

3a

4

+b，
∴a=2，b=-3
∴f（x）=2x³-3x²．
（Ⅱ）∵f（x）=2x³-3x²．
∴f′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1．此时函数单调递减，
即当x∈[0，2]时，当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4，
又若f（x）≤m在区间x∈[0，2]恒成立，
∴m≥4．

点评：本题主要考查导数的应用，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的解析式是解决本题的关键．