题目内容
已知cosα+sinβ=
，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，则函数log
的最小值为 ．
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| ||
| 4x+7 |
考点：复合函数的单调性
专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值
分析：令t=sinα+cosβ，①cosα+sinβ=
，②，①2+②2，由平方关系和两角和的正弦公式及正弦函数的值域即可得到范围D，令y=
，则可运用导数求出区间D的单调性，即可得到y的最大值，从而由对数函数的单调性得到最小值．
| 3 |
| ||
| 4x+7 |
解答：
解：令t=sinα+cosβ，①
cosα+sinβ=
，②
①2+②2，得t2+3=2+2sin（α+β）．
∴2sin（α+β）=t2+1∈[-2，2]．
即t2+1≤2且t2+1≥-2，解得-1≤t≤1，
即有取值范围D为[-1，1]，
由于x∈D，令y=
，则y=
=
≤
，
当且仅当2
=
，即有x=-
∉[-1，1]，
故y取不到最大值
．
则函数的导数y′=
，在[-1，1]上y′＜0，函数y是减函数，
则有x=-1，即y有最大值为
，
则函数log
的最小值为log
=
．
故答案为：
．
cosα+sinβ=
| 3 |
①2+②2，得t2+3=2+2sin（α+β）．
∴2sin（α+β）=t2+1∈[-2，2]．
即t2+1≤2且t2+1≥-2，解得-1≤t≤1，
即有取值范围D为[-1，1]，
由于x∈D，令y=
| ||
| 4x+7 |
| ||
| 2(2x+3)+1 |
=
| 1 | ||||||
2
|
| 1 | ||
2
|
当且仅当2
| 2x+3 |
| 1 | ||
|
| 5 |
| 4 |
故y取不到最大值
| 1 | ||
2
|
则函数的导数y′=
| -4x-5 | ||
|
则有x=-1，即y有最大值为
| 1 |
| 3 |
则函数log
| 1 |
| 9 |
| ||
| 4x+7 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
故答案为：
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查三角函数的取值范围和复合函数的最值，考查三角恒等变换公式的运用，考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于中档题．
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y=kx+k，y=
在同一坐标系中的图象大致是（ ）
| k |
| x |
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（ ）
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|