Question

已知复数-1+3i、cosα+isinα（0＜α＜

π

2

，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值；
（2）若B点的横坐标为

4

5

，求S_△AOB．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由已知得到A，B的坐标，进一步求得

OA

，

OB

的坐标，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，代入坐标后整理可得tanα的值；
（2）由已知求出|OA|，|OB|，由两角差的正弦求得sin∠AOB，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（1）由题可知：A（-1，3），B（cosα，sinα），
∴

OA

=(-1，3)，

OB

=(cosα，sinα)，
由OA⊥OB，得

OA

•

OB

=0，
∴-cosα+3sinα=0，
∴tanα=

1

3

；
（2）由（1）|OA|=

10

，记∠AOx=β，β∈(

π

2

，π)，
∴sinβ=

3

10

=

3 10

10

，cosβ=-

1

10

=-

10

10

，
∵|OB|=1，cosα=

4

5

，得sinα=

1-cos2α

=

3

5

，
sin∠AOB=sin（β-α）=

3 10

10

×

4

5

+

10

10

×

3

5

=

3 10

10

．
∴S_△AOB=

1

2

|AO|•|BO|sin∠AOB=

1

2

×

10

×1×

3 10

10

=

3

2

．

点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了三角函数的基本关系式和两角差的正弦，是中档题．