Question

12．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的两个单位向量，则$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$；$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由条件可以得到$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=1，|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$，然后进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{7}{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=7，{\overrightarrow{b}}^{2}=7$，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$，这样便可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$-6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=$-6+\frac{1}{2}+2=-\frac{7}{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=7$，${\overrightarrow{b}}^{2}=9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=7$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围．