Question

20．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的值域为R；命题q：3^x-9^x＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：若函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的值域为R，
则当a=0时，f（x）=lg（-x）的值域为R满足条件，
若a≠0，要使函数f（x）的值域为R，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{4{a}^{2}}{16}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-2≤a≤2}\end{array}\right.$，即0＜a≤2，综上0≤a≤2；
若3^x-9^x＜a对一切实数x恒成立，
则设g（x）=3^x-9^x，则g（x）=3^x-（3^x）²，=
设t=3^x，则t＞0，则函数等价为y=t-t²=-（t$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
即a＞$\frac{1}{4}$，
若“p且q”为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{4}$＜a≤2
则若“p且q”为假命题，则a＞2或a≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．