Question

12．已知$cosα=-\frac{4}{5}$，且α为第三象限角．
（1）求sinα的值；
（2）求sin2α+cos2α的值；
（3）求$cos（α-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和同角三角函数基本关系可得；
（Ⅱ）由二倍角公式，代值计算可得；
（III）由两角差的余弦公式，代值计算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosα=-\frac{4}{5}$，且α为第三象限角，
∴$sinα=-\sqrt{1-{{cos}^2}α}$=$-\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$-\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由二倍角公式可得sin2α+cos2α
=2sinαcosα+2cos²α-1
=$2（-\frac{3}{5}）（-\frac{4}{5}）+2\frac{16}{25}-1$=$\frac{31}{25}$；
（III）由两角差的余弦公式可得$cos（α-\frac{π}{3}）=cosαcos\frac{π}{3}+sinαsin\frac{π}{3}$
=$（-\frac{4}{5}）×\frac{1}{2}+（-\frac{3}{5}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．