Question

6．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．
①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k为闭函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，判断函数的单调性，利用新定义结合函数的图象，函数的单调性求解函数的值域，满足想的一样求出k的范围．

解答 解：∵k是常数，函数$y=\sqrt{2x+1}$是定义在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上的增函数，
∴函数$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$是$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上的增函数，…（2分）
因此，若函数$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，
使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）

∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2a+1}+k=a\\ \sqrt{2b+1}+k=b\end{array}\right.$，可得方程$k=x-\sqrt{2x+1}$在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上有两个不相等的实数根a、b…（5分）
令$t=\sqrt{2x+1}$，得$x=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，设函数$F（x）=x-\sqrt{2x+1}=g（t）$，（t≥0）
即$g（t）=\frac{1}{2}{t^2}-t-\frac{1}{2}$，
在t∈[0，1]时，g（t）为减函数，$-1≤g（t）≤-\frac{1}{2}$；
在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数，∴g（t）≥-1；
∴当$-1≤k≤-\frac{1}{2}$时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，
相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程$k=x-\sqrt{2x+1}$，
当$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$为闭函数时，实数k的取值范围是：$-1≤k≤-\frac{1}{2}$．…（10分）

点评 本题考查函数的定义域、值域，函数的单调性以及新定义的应用，考查转化思想数形结合思想的应用．