Question

1．已知f（x）=x³+3ax²+bx在x=-1时有极值为0．
（1）求常数 a，b的值；  
（2）求f（x）在[-2，-$\frac{1}{4}$]的最值．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，由题意可知f'（-1）=0且f（-1）=0；（2）利用导数判断出函数f（x）图形的单调性后求极值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+3ax²+bx，
∴f'（x）=3x²+6ax+b，
又∵f（x）在x=-1时有极值0，
∴f'（-1）=0且f（-1）=0，
即3-6a+b=0且-1+3a-b=0，
解得：a=$\frac{2}{3}$，b=1   经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x²+4x+1，
令f'（x）=0得x=-$\frac{1}{3}$或x=-1，
又∵f（-2）=-2，f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{9}{64}$，f（-1）=0，f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，
∴f（x）_max=0，f（x）_min=-2．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值问题，属基础题．