求最值:(1)已知a＞0.b＞0.且4a+b=1.求ab的最大值,(2)已知x＞0.y＞0.且x+y=1.求$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．求最值：
（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b=1，求ab的最大值；
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值．

分析（1）直接利用基本不等式求出ab的最大值，
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）∵a＞0，b＞0，4a+b=1，
∴1=4a+b≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{4}$，
∴ab≤$\frac{1}{16}$，当且仅当a=$\frac{1}{8}$，b=$\frac{1}{2}$时取等号，
故ab的最大值为$\frac{1}{16}$，
（2）∵x＞0，y＞0，且x+y=1，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$=（$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$）（x+y）=4+9+$\frac{4y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥13+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}$=13+12=25，当且仅当x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{3}{5}$取等号，
故$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值为25

点评本题考查了基本不等式的应用，关键掌握一正二定三相等，属于基础题．

练习册系列答案

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5．

如图是为了计算1+2+2²+…+2¹⁰的值而设计的程序框图，
（Ⅰ）将（1）、（2）两处缺失的语句补上．
（Ⅱ）指出程序框图中用的是那一种类型的循环结构，并用另一种循环结构画出程序框图．

6．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．
①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k为闭函数，求k的取值范围．

3．命题“存在x₀∈R，2^x₀≤0”的否定是（　　）

	A．	不存在 ${x_0}∈R，{2^{x_0}}＞0$		B．	对任意的${x_0}∈R，{2^{x_0}}＞0$
	C．	对任意的 ${x_0}∈R，{2^{x_0}}≤0$		D．	存在 ${x_0}∈R，{2^{x_0}}≥0$

10．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数）．设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|．

20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=（　　）

7．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，则使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值时n的值为3．

4．已知双曲线C：$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=$\frac{3}{5}$|F₁F₂|，则△PF₁F₂的面积等于（　　）

5．若函数f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2}}$在（-1，+∞）上的值域为[$-\frac{1}{2}$，1）．

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