Question

20．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为$\frac{1}{2}$，甲胜丙、乙胜丙的概率都为$\frac{2}{3}$，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第三局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望；
（Ⅲ）已知第三局甲当裁判，求前4局中乙当裁判的次数恰好为1次的概率．

Answer 1

分析 （I）讨论第二局的裁判，得出第三局的裁判概率；
（II）对前四局的裁判情况进行讨论，得出X的分布列，再计算均值；
（III）利用条件概率公式计算．

解答 解：（Ⅰ）第2局中可能是乙当裁判的概率为$\frac{1}{3}$，丙当裁判的概率为$\frac{2}{3}$，
第3局甲当裁判的概率为$\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}=\frac{4}{9}$． 
（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2． 
$P（X=0）=\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$；  
  $P（X=1）=\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{17}{27}$；
$P（X=2）=\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{3}•\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}$．  
∴X的数学期望$E（X）=0×\frac{2}{9}+1×\frac{17}{27}+2×\frac{4}{27}=\frac{25}{27}$． 
（Ⅲ）记第三局甲当裁判的事件为A，前4局中乙当裁判的次数恰好为1次的事件为B，
由（Ⅰ）知：$P（A）=\frac{4}{9}$，又$P（AB）=\frac{1}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{5}{27}$，
∴前4局中乙当裁判的次数恰好为1次的概率为$P（B|A）=\frac{P（AB）}{P（A）}=\frac{{\frac{5}{27}}}{{\frac{4}{9}}}=\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列，条件概率，属于中档题．