Question

9．（1）已知关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集是{x|x＜-2，或x＞-$\frac{1}{2}$}，求不等式ax²-bx+c＞0的解集．
（2）已知M是关于x的不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）不等式ax²+bx+c＜0的解集得出a＜0，且对应方程的两实数根，利用根与系数的关系求出$\frac{b}{a}$和$\frac{c}{a}$的值，再化不等式ax²-bx+c＞0，从而求出它的解集；
（2）x=0代入不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0，求出a的取值范围；再求对应二次不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集．

解答 解：（1）关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集是{x|x＜-2，或x＞-$\frac{1}{2}$}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的两实数根为-2和-$\frac{1}{2}$，
由根与系数的关系知，$\left\{\begin{array}{l}{-2-\frac{1}{2}=-\frac{b}{a}}\\{-2×（-\frac{1}{2}）=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$；
解得$\frac{b}{a}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{c}{a}$=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0可化为x²-$\frac{5}{2}$x+1＜0，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴所求不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，2）；
（2）根据题意，把x=0代入不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0，
得3+a-2a²＜0，
即2a²-a-3＞0，
解得a＜-1或a＞$\frac{3}{2}$；
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）；
二次不等式对应的方程为2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）=0，
其两根为3-2a，$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$，
当a＜-1时，3-2a＞$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$，
∴不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集为{x|$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$＜x＜3-2a}；
当a＞$\frac{3}{2}$时，3-2a＜$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$，
∴不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集为{x|3-2a＜x＜$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．