Question

9．设函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{4}}）+cos（{x-\frac{π}{4}}）$，则（　　）

• A． $f（x）=-f（{x+\frac{π}{2}}）$
• B． $f（x）=f（{-x+\frac{π}{2}}）$
• C． $f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）=1$
• D． $f（x）=-f（{-x+\frac{π}{2}}）$

Answer 1

分析 化简函数f（x），验证选项中的等式是否成立即可．

解答 解：函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{4}}）+cos（{x-\frac{π}{4}}）$
=（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）+（cosxcos$\frac{π}{4}$+sinxsin$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）
=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x+$\frac{π}{2}$）=2sin（x+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=2cos（x+$\frac{π}{4}$）≠-f（x），A错误；
f（-x+$\frac{π}{2}$）=2sin（-x+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=2sin[π-（-x+$\frac{3π}{4}$）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）=f（x），B正确．
同理，C、D错误．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简与应用问题，是基础题．