Question

2．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＜1}\\{4（x+a）（x+2a），x≥1}\end{array}\right.$，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 对a进行讨论，判断f（x）在（-∞，1）上的零点个数，再判断f（x）在[1，+∞）上的零点个数．

解答 解：当x＜1时，f（x）在（-∞，1）上单调递增，f（x）＜2+a，
当x≥1时，令f（x）=0得x=-a或x=-2a．
（1）若2+a≤0即a≤-2时，f（x）在（-∞，1）上无零点，
此时，-2a＞-a≥2，∴f（x）在[1，+∞）上有两个零点，符合题意；
（2）若2+a＞0即a＞-2时，f（x）在（-∞，1）上有1个零点，
∴f（x）在[1，+∞）上只有1个零点，
①若-2＜a＜0，则-2a＞-a，∴-a＜1≤-2a，解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$，
②若a=0，则-a=-2a=0∉[1，+∞），∴f（x）在[1，+∞）上无零点，不符合题意；
③若a＞0，则0＞-a＞-2a，∴f（x）在[1，+∞）上无零点，不符合题意；
综上，a的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，-$\frac{1}{2}$]．
故答案为（-∞，-2]∪（-1，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的零点个数与函数单调性的判断，分类讨论思想，属于中档题．