Question

已知函数f（x²-3）=lg

x2

x2-6

（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式和定义域；
（2）运用复合函数的单调性：同增异减，由对数函数y=lgm的单调性和m=1+

6

x-3

在x＞3上的单调性，即可得到单调区间．

解答： 解：（1）设x²-3=t，
则x²=t+3，故t≥-3，
则原函数转化为f（t）=lg

t+3

t-3

，
由

t+3

t-3

＞0得t＞3或t＜-3，又由t≥-3
则t＞3，
故f（x）的定义域为{x|x＞3}，
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定义域为{x|x＞3}；
（2）f（x）=lg

x+3

x-3

=lg（1+

6

x-3

），
由m=1+

6

x-3

在x＞3上递减，又y=lgm在m＞0上递增，
则f（x）在x＞3上递减．
即有f（x）的减区间为（3，+∞），无增区间．

点评：本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，考查运算能力，为中档题．